Jean-Marie Monier's Algèbre et géométrie PC-PSI-PT : Cours, méthodes, exercices PDF

By Jean-Marie Monier

ISBN-10: 2100517724

ISBN-13: 9782100517725

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Depuis l. a. mort de Britannicus, au Palatin, deux clans ennemis se forment autour d'Agrippine et de son fils. Une trage´die se pre´pare dans les coulisses du pouvoir. Paralle`lement, le complot, qui a entrai^ne´ l. a. mort de Lolia Paulina, prend toute sa measurement. Murena, son fils, est de´cide´ a` trouver l'assassin de sa me`re.

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4 • Calcul matriciel Proposition 1 1) L'application tr : Mn (K ) −→ K est une forme linéaire, c'est-à-dire : A −→ tr (A) ∀ α ∈ K , ∀ A,B ∈ Mn (K ), tr (α A + B) = α tr (A) + tr (B). La formule 2) est très importante pour les exercices et problèmes. 2) ∀ A ∈ Mn, p (K ), ∀ B ∈ M p,n (K ), tr (AB) = tr (B A). 3) ∀ A ∈ Mn (K ), ∀ P ∈ GLn (K ), tr (P −1 A P) = tr (A). Preuve 1) En notant A = (ai j )i j , B = (bi j )i j , on a : n n tr (α A + B) = n (αaii + bii ) = α i=1 aii + i=1 bii = α tr (A) + tr (B).

X p ) de E p : xi = x j ⇒ ϕ(x1 ,. . ,x p ) = 0. Si de plus F = K , on dit que ϕ est une forme p-linéaire alternée. Remarque : L'ensemble des applications p-linéaires alternées de E p dans F est un sev de L p (E,. . ,E; F). 41 Chapitre 2 • Déterminants Proposition 1 ni Mo n ie re Monie lgèb r éom é bre G r Algè onier étr ie M éom onier èbre M r Alg G Mo er A n ie Mo tr i e Géomé Rappel de notations : S p est le groupe symétrique d'indice p,formé des permutations de {1,. . , p}, et pour toute σ de S p , ε(σ ) désigne la signature de σ .

1) L'application tr : L(E) −→ K est une forme linéaire, c'est-à-dire : f −→ tr ( f ) ∀ α ∈ K , ∀ f,g ∈ L(E), tr (α f + g) = α tr ( f ) + tr (g). 2) ∀ f ∈ L(E,F), ∀ g ∈ L(F,E), tr ( f ◦ g) = tr (g ◦ f ). 3) ∀ f ∈ L(E), ∀ h ∈ GL(E), tr (h −1 ◦ f ◦ h) = tr ( f ). Proposition 3 Résultat très utile pour les exercices et problèmes. Soient E un K-ev de dimension finie, p un projecteur de E. On a alors : tr ( p) = rg ( p). 23 Chapitre 1 • Compléments d’algèbre linéaire Preuve Le sev Im ( p) de E admet au moins une base B1 , et le sev Ker ( p) de E admet au moins une base B2 .

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Algèbre et géométrie PC-PSI-PT : Cours, méthodes, exercices corrigés by Jean-Marie Monier


by Robert
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